## 高等数学(下)(双语)

高等数学（下）（双语）课程教学大纲

The course, Advanced Mathematics (II), essentially decomposes in six partsinfinite series, 2nd-order ordinary differential equations, vector algebra, space analytic geometry, multivariable function calculus and calculus in vector fields.

In this course we extend the basic ideas of single variable calculus to functions of several variables. Their derivatives are more varied and interesting because of the different ways the variables can interact. The applications of these derivatives are also more varied than for single-variable calculus, and in the next chapter we will see that the same is true for integrals involving several variables. These multiple integrals are defined to be the limit of approximating Riemann sums, much like the single-variable integrals presented in Advanced Mathematics I. We illustrate several applications of multiple integrals, including calculations of volumes, areas in the plane, moments, and centers of mass. Based on the vector algebra and space geometry, we extend the theory of integration to curves and surfaces in space. The resulting theory of line and surface integrals gives powerful mathematical tools for science and engineering. Line integrals are used to find the work done by a force in moving an object along a path, and to find the mass of a curved wire with variable density. Surface integrals are used to find the rate of flow of a fluid across a surface. We present the fundamental theorems of vector integral calculus, and discuss their mathematical consequences and physical applications. In the final analysis, the key theorems are shown as generalized interpretations of the Fundamental Theorem of Calculus.

The upgraded mathematics tool enable us to study more complicated processes involving change, the course is required for all the students in almost all faculties of science. This subject seeks to present mathematics as an organized body of knowledge that will provide students with a sound basis for later work in mathematics and other subjects.

I  Infinite Series

1. Sequences

1) Be familiar with sequence definitions and notation;

2) Know what “converge” (limit of sequence exists) and “diverge” (limit does not exist) mean;

3) Be familiar with limit laws (for sequences);

4) Know how to use convergence theorems (and when you can’t use them);

5) Determine if a sequence is increasing or bounded;

2. Series

1) Be familiar with series notation;

2) Know definition of series as a limit of partial sums;

3) Know what converge and diverge mean in series context;

4) Memorize specific types of series (Geometric series; Harmonic series and Telescoping series);

5) Good command of divergence test;

6) Express decimal representation of a number as a fraction;

3. Convergence tests

1) Know tests for series of nonnegative terms (The integral and comparison tests, Ratio test and Root test);

2) Good command of alternating series test;

3) Good command of absolute convergence and conditional convergence;

4. Power series

1) Know formula for a power series and how to use it;

2) Good command of finding radius of convergence;

3) Good command of finding interval of convergence;

4) Be able to represent certain functions using power series;

5) Know and be able to use the power series (and corresponding radii of convergence);

6) Good command of using power series to find a definite integral for a specific function;

7) Know basic definitions of Taylor Series and Maclaurin Series;

8) Good command of finding (and know definitions of) Taylor polynomial of degree n about value a;

9) Good command of finding Maclaurin series of a function;

10) Good command of using known Taylor series to obtain other Taylor series;

11) Be able to find limits using Taylor polynomials;

12) Be able to find values of series by using Taylor series;

13) Know the Lagrange remainder/Taylor remainder;

5. Fourier Series

1) Be familiar with definition of Fourier series;

2) Know convergence of Fourier Series;

3) Be able to find a Fourier Series Expansion;

4) Can expand a function as Fourier sine or cosine series.

II   The 2nd-order ODEs

1. Be familiar with all terminology involved in differential equations (first order, second order, linear, initial and boundary conditions, homogeneous, inhomogeneous);

2. Can use the guess exp(rx) and resulting characteristic equation to find the set of all solutions to a second order linear homogeneous differential equations with constant coefficients;

3. Can use initial conditions and boundary conditions to find unknown constants;

4. Be able to use method of undetermined coefficients to find a particular solution;

5. Know right guesses to make in different situations including multiplying your guess by x when appropriate ;

6. Know how to solve the resulting second-order linear differential equations with constant coefficients.

III   Vector Algebra and Geometry in Space and Polar Coordinate

1. Understand three-dimensional coordinate system;

2. Be able to draw/explain what given surfaces or solids are given a corresponding equation or inequality;

3. Know and use distance formula to find distance between points;

4. Be able to add, subtract, “rescale”/multiply vectors by a scalar;

5. Find vector given two points;

6. Use magnitude and direction to find component form of vectors;

7. Vectors are parallel if and only if there is a c such that v1 = c*v2;

8. Definitions of dot and cross products;

9. Know “properties of the dot product”;

10. Know how to find projections;

11. Find the cross product of two vectors;

12. Areas of shapes formed by two vectors;

13. Use cross product (and dot product) to find angle between two vectors (and whether or not two vectors are parallel or perpendicular);

14. Use scalar triple product to find Volume of parallelepiped;

15. Be familiar with cross product properties;

16. Find vectors/unit vectors perpendicular to two given vectors;

17. Know the ways to write line;

18. Be able to convert quickly between each of the form;

19. Be able to find equation for a line in different situations by finding a corresponding directional vector and a starting point and vice versa;

20. Write equation for line segments by appropriately limiting the parameter t;

21. Find angle between two lines (and whether or not they are perpendicular or parallel);

22. Know the ways to write planes;

23. Be able to convert between the different forms;

24. Be able to find equation for a plane by finding a corresponding “starting point” and normal vector and vice versa;

25. Know definition of normal vector and how to use them

26. Find angle between two planes by using the corresponding normal vectors

27. Find angles between lines and planes

28. Find intersection points and angles at those intersections

29. Line of intersection between two planes

30. Finds lines and planes given other lines and/or planes and the relationships between them

31. Understand Polar coordinate system and be familiar with the standard equations of some polar curves such like: circles, cardioids, spirals, and Lemniscates；

32. Use the equations related polar coordinates and Cartesian coordinates to change from one coordinate system to the other;

33. Find slopes and arc length of polar curve pieces ;

34. Find area of plane region enclosed by polar curves.

IV   Multivariable Functions &Its Derivatives

1. Functions of several variables

1) Be able to do basic evaluations with functions of several variables

2) Identify domain and range

3) Sketch graphs of functions

4) Be able to go between level curve and surface plots

5) Be familiar with level surfaces

2. Limits and continuity

1) Be able to identify whether or not a limit exists

2) Know and be familiar with definition of continuity

3) Know that every composition, addition, subtraction, multiplication, division of continuous functions is still continuous on the new function’s domain of definition

4) Be able to evaluate limits where necessary for piecewise defined functions

3. Partial derivatives

1) Know definitions and notation for partial derivatives

2) Know that a function must be differentiable at a point if partial derivatives exist and are continuous at that point

3)Be able to deal with partial derivatives involving 2, 3, or n variables and 1st, 2nd, or higher order

4) Be able to see whether or not a function satisfies a given partial differential equation

4. Applications

1) Be able to find the equation for the tangent plane to a surface at a given point

2) Be able to find the linearization of a function near a point and use the linear approximation to find the approximate value of a function at a given point

3) Find differentials and incrementals for a given function and be able to compare

4) Use differentials to find out useful info about a physical system

5) Be able to find directional derivatives along arbitrary vectors/directions

6) Be able to find gradients of functions and know what it means

7) Understand relationship between directional derivatives, gradients, and level curves and be able to use one of them (or two) to find out information about the other ones (one)

8) Be able to find tangent plane and normal line to a surface at a point

9) Find critical points and classify them using the second derivative test

10) Find absolute maxima and minima on a closed set/region

11) Find maxes and mins along constraint lines and/or surfaces

12) Find maxes and mins using Lagrange multipliers technique analytically or graphically

V   Multiple Integrals

1. Double integrals in Cartesian coordinates

1) Evaluate double integrals in Cartesian coordinates by rewriting them as an iterated integral with the right limits

2) Be able to determine which way to integrate with respect to first in order to most easily evaluate the integral

3) Switch orders of integration appropriately when asked or needed

4) Know how to find area of a given domain of integration

5) Properties of double integrals

6) Applications of double integrals

2. Double integrals in polar coordinates

1) Be able to draw the integral domain

2) Appropriate choice of order of integration

3) Separating into different domains if needed

4) Finding appropriate limits

5) Be able to switch between Cartesian and polar coordinates

3. Triple integrals in Cartesian coordinates

1) Be able to convert triple integrals into iterated integrals

2) Find appropriate limits on iterated integrals given the bounding surfaces

3) Be able to change orders of integration

4) Properties of triple integrals

5) Applications (Volumes, Average Value, Mass, Moments)

4. Triple Integrals in Cylindrical Coordinates

1) Be able to convert triple integrals into iterated integrals in cylindrical coordinates

2) Change between cylindrical and Cartesian representations of points, lines, and surfaces

3) Switch between iterated integrals in cylindrical coordinates and iterated integrals in Cartesian coordinates

5. Triple Integrals in spherical coordinates

1) Be able to convert triple integrals into iterated integrals in spherical coordinates

2) Change between spherical, cylindrical, and Cartesian representations of points, lines, and surfaces

3) Switch between iterated integrals in spherical coordinates, iterated integrals in cylindrical coordinates, and iterated integrals in Cartesian coordinates

VI   Integration in Vector Fields

1. Be familiar with line integrals over scalar fields

2. Be familiar with line integrals over vector fields;

3. Good command of work done by a force field;

4. Understand different ways for a line integral over a vector field;

5. Be able to find proper orientation of curves when required;

6. Know what conservative/potential fields are;

7. Can verifying a field is indeed conservative;

8. Be able to find a corresponding potential function for the vector field;

9. Can use the FTC formula of line integrals;

10. Know and use Green’s Theorem;

11. Know Green’s theorem area formula;

12. Know and be able to calculate the curl and divergence of a vector field;

13. Know what divergence and curl mean graphically;

14. Be good at evaluate surface area and surface integrals;

15. Be able to obtain appropriate sign of the integral corresponding to the orientation of the surface;

16. Be able to use Stokes theorem  to convert line integrals into surface integrals

17. Can convert integral of curl of a vector field over a surface into a line integral;

18. Know divergence Theorem;

19. Can convert surface integrals into volume integrals;

20. Can find the curl and divergence of the vector field.

、实践环节的内容、方法及基本要求

 教学环节     课程内容 讲课（包括习题课、讨论课） 实验 上机 课外 合计 Infinite Series 16 32 48 The 2nd-order ODEs 8 16 24 Vector Algebra and Geometry in Space  and Polar Coordinate 16 32 48 Multivariable Functions &Its Derivatives 18 36 54 Multiple Integrals 10 20 30 Integration in Vector Fields 16 32 48 合计 96 192 288

、考方式

CLOSED-BOOK EXAMINATION

The subject attempts to develop the following abilities

Cognitive Objectives

Students will be expected to:

• Recall mathematical facts and traditional terminology
• Acquire mathematical concepts
• Understand mathematical relationships
• Acquire manipulative and computational skills
• Use mathematical facts, traditional terminology, concepts, relationships and skills in routine ways
• Comprehend information in oral and written forms including graphical, diagrammatic and tabular presentations
• Select and use appropriate forms for representing mathematical data and relationships
• Recognize and extend patterns and make conjectures, predictions and inferences from information given in oral and written forms
• Understand and use deductive reasoning
• Apply suitable mathematical techniques and problem-solving strategies to both routine and non-routine situations
• Select and use different technologies appropriately.
• Communicate mathematical ideas and results in both oral and written forms
• Compare results with expectations and verify the suitability and reasonableness of a result.

Affective Objectives

It is highly desirable that student:

• Develop an interest in mathematics, and acquire a positive attitude towards its use and power
• Show a willingness to participate and persevere in the learning of mathematics
• Develop confidence in their ability to use mathematics effectively
• Appreciate the benefits of using technology in mathematics
• Display responsibility for their organization, presentation and learning of mathematics
• Interact in a constructive and cooperative manner with peers and teachers and respond constructively to advice.

、推荐教材和参考文献

《Thomas’ Calculus(Tenth Edition) (II)Ross L.Finney , Maurice D.Weir , Frank R.Giordano，High Education Press2004.

Calculus(Fifth Edition)(II)》，James Stewart High Education Press2007.

Calculus(II)》，William Briggs ,China Renmin University Press2012年

Calculus(eighth Edition) (II)》，William Briggs China Machine Press2012.

《Thomas’ Calculus(12th Edition) (II)Ross L.Finney ect.,Pearson,2009.

《Principles of Mathematical Analysis (Third Edition)》Walter Rudin，China Machine Press2004.

Advanced Mathematics (II)》，Xue Zhichun etc.Qinghua University Press2013.

Advanced Mathematics (II)》，Mathematics group of Tongji University，High Education Press2014年

《Calculus (II)》，F.M. Feihejingeerci，High Education Press2013.

《Calculus (III)》，F.M. Feihejingeerci，High Education Press2013.

Study Guide and Excises of Calculus》，Peng Huichun  Wei JunqiangQinghua University Press2014.

大纲制订人：彭慧春

大纲审定人：马德香

大纲校对人：张金平、黄晔辉

制订日期：  201412