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高等数学B

《高等数学(B)》课程教学大纲

课程编号:《 高等数学B(上)》00900130

          《 高等数学B(下)》00900140

课程名称: 高等数学B(上、下)                  

英文名称: Advanced Mathematics

总 学 时: 186 (90+96)       

学  分: 11.5(5.5+6)

适用对象: 工科本科生

先修课程: 初等数学

一、课程性质、目的和任务

高等数学(一)是全校性公共数学基础课,是高等学校各相关专业学生一门必修的重要 的基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高素质专门人才服务的。通 过本课程的学习,要使学生获得极限、一元函数微积分学、常微分方程、向量代数和空间 解析几何、多元函数微积分学、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能, 要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能 力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,为学习后续课程和进一步 获得数学知识奠定必要的数学基础。

二、教学内容、方法及基本要求 

第一章 函数与极限  1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法。   2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。   3.理解复合函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。   4.掌握基本初等函数的性质及其图形。   5.会建立简单应用问题中的函数关系式。   6.理解极限概念,理解函数左、右极限的概念,以及极限存在与左、右极限间的 关系。   7.掌握极限的性质及四则运算法则。   8.掌握极限存在两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的 方法。   9.理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念,会用等价无穷小求极限。   10.理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型。   11.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和介值 定理),并会应用这些性质。

第二章  导数与微分  1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线 方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间 的关系。   2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式, 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算中的应用。   3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。   4.会求分段函数的一阶、二阶导数。   5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。  

第三章  微分中值定理与导数的应用  1.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理。   2.了解并会用泰勒中值定理。   3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握 函数最大值和最小值的求法及其简单应用。   4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点,能求水平、铅直和斜渐 近线,能描绘函数的图形。   5.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。   6.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径,会求两曲线的交角。   7.了解求方程近似解的二分法和切线法。

第四章  不定积分  1.理解原函数概念,理解不定积分的概念。   2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质及换元积分法与分部积 分法。   3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。  

第五章 1.理解定积分的概念,理解定积分中值定理。   2.掌握定积分的性质及换元积分法与分部积 分法。3.理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理,掌握牛顿-莱布尼茨公式。   4.了解广义积分的概念并会计算广义积分。   

第六章  定积分的应用 1.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧 长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及 函数的平均值等)。

第七章  微分方程 1.了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。   2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。   3.会解齐次方程、伯努利方程,知道全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分 方程。   4.会用降阶法解下列方程:,,。   5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。   6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线 性微分方程。   7.会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的二 阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。   8.会用微分方程解决一些简单的应用问题。

第八章  空间解析几何与向量代数   1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。   2.掌握向量运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行 条件。   3.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,以及用坐标表达式进行 向量运算的方法。   4.掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、 相交等)解决有关问题。   5.理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转 轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。   6.了解空间曲线的参数方程和一般方程。   7.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。

第九章  多元函数微分法及其应用  1.理解多元函数的概念。   2.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质。   3.理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件,以及全微 分在近似计算中的应用。   4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。5.会求隐函数的偏导数。   6.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解 二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值, 会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

第十章  重积分  1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定 理。掌握二重积分(直角坐标、极坐标)计算方法,会计算三重积分(直角坐标、柱面坐 标、*球面坐标)。  

第十一章  曲线积分与曲面积分 1.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。   2.掌握计算两类曲线积分的方法。   3.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。   4.了解两类曲面积分概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的 方法。   5.了解高斯公式、斯托克斯公式,会用高斯公式计算曲面积分。   6.*了解散度与旋度的概念,并会计算。   7.会用重积分、曲线积分及曲面积分,求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体 积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。   

第十二章  无穷级数  1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收 敛的必要条件。   2.掌握几何级数与p-级数的收敛性。   3.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。   4.会用交错级数的莱布尼茨定理。   5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。   6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。   7.掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。   8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和 函数,并会由此求出某些数项级数的和。   9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。   10.掌握麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。   11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。   12.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理,会将定义在上 的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里 叶级数的和的表达式。

三、实践环节的内容、方法及基本要求   

   无

四、各教学环节学时分配 

                 教学环节

     课程内容

讲课(包括习题课、讨论课)

实验

上机

课外

合计

第一章 函数与极限

20

 

 

20

40

第二章  导数与微分

14

 

 

14

28

第三章  微分中值定理与导数的应用

12

 

 

12

24

第四章  不定积分

10

 

 

10

20

第五章  定积分

10

 

 

10

20

第六章  定积分的应用

10

 

 

10

20

第七章  微分方程

14

 

 

14

28

第八章  空间解析几何与向量代数

24

 

 

 

24

48

第九章  多元函数微分法及其应用

16

 

 

16

32

第十章  重积分

18

 

 

18

36

第十一章  曲线积分与曲面积分

22

 

 

22

44

第十二章  无穷级数

16

 

 

16

32

合计

186

 

 

186

372

 

五、考核方式

学生考试成绩应以期末考试为主并适当参考平时作业完成情况综合给出,一般情况下 平时作业占分数比例为0-30%。期末考试一律采取统一命题、统一考试、集体流水阅卷方式进行。

六、对学生能力培养的体现 

高等数学是必修的重要的公共基础课,它是学生今后学习各类后继课程和进一步扩大 数学知识面的数学基础,因此通过高等数学这门课程的学习,学生会达到:   1.掌握一元函数微积分及其应用的基本知识(基本概念、基本理论、基本方法)和基 本运算技能。   2.掌握多元函数微积分及其应用的基本知识和基本运算技能。   3.掌握无穷级数与常微分方程的基本知识和基本运算技能。   4.掌握向量代数与空间解析几何的基本知识和基本运算技能。  

七、推荐教材和参考文献    

教    材:

《高等数学(第七版) 》,同济大学应用数学系主编,高等教育出版社, 2014年。

参考文献:

 1.《高等数学典型应用实例与模型》,王宪杰等编著,科学出版社,2005年。

 2.《大学数学(第二版)微积分》,萧树铁等编著,高等教育出版社,2003年。

 3.《大学数学教程-微积分》刘建亚编著,高等教育出版社,2003年。  

 4.《高等数学》,张荫南、童裕孙等编著,高等教育出版社,2000年。  

 5.《工科数学分析基础》,孙振绮等编著,机械工业出版社,2003年。  

 6.《高等数学:多元微积分及其教学软件》,上海交通大学等编著. 科学出版社, 1999年。  

 7.《工科数学分析基础》,王绵森、马知恩编著,高等教育出版社,1999年。  

 8.《高等数学》,侯云畅编著,高等教育出版社,1999年。

 9.《高等数学》,陈庆华编著,高等教育出版社,1999年。

 10.《高等数学解体题与分析》,孙淑珍等编,清华大学出版社,2010年。

八、说明

 

 

 

                                                          大纲制订人:马德香

                                                          大纲审定人:石玉英

                                                          大纲校对人:张金平、黄晔辉

                                                          制订日期:  2014年11月